Ejercicios resueltos de cálculo de matriz inversa por definición y por

Entra aquí para practicar con ejercicios resueltos paso a paso de matrices y determinantes.. En este artículo encontrarás ejercicios resueltos para practicar el cálculo de la matriz inversa.

En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada

A

{\displaystyle A}

de orden

n

{\displaystyle n}

se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden

n

{\displaystyle n}

, llamada matriz inversa de

A

{\displaystyle A}

y denotada por

A

−
1

{\displaystyle A^{-1}}

si

A
⋅

A

−
1

=

A

−
1

⋅
A
=

I

n

{\displaystyle A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_{n}}

, donde

I

n

{\displaystyle I_{n}}

es la matriz identidad de orden

n

{\displaystyle n}

y el producto utilizado es el producto de matrices usual.

Una matriz cuadrada no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y sólo si su determinante es nulo. La matriz singular

A

{\displaystyle A}

se caracteriza porque su multiplicación por la matriz columna

X

{\displaystyle X}

es igual a cero para algún

X

{\displaystyle X}

no nulo. El conjunto de estos vectores (y al subespacio vectorial formado por ellos) se llamará ker

A

{\displaystyle A}

(de kernel, núcleo en alemán), para una matriz invertible ker

A

{\displaystyle A}

es el vector nulo.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

Ejemplos

Matriz de dos filas (matriz adjunta)

Dada una matriz

A

{\displaystyle A}

de tamaño

2
×
2

{\displaystyle 2\times 2}

con determinante no nulo entonces

A

−
1

=

[

a

b

c

d

]

−
1

=

1

det
(
A
)

[

d

−
b

−
c

a

]

=

1

a
d
−
b
c

[

d

−
b

−
c

a

]

{\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}}

y esta está definida siempre y cuando

a
d
−
b
c
≠
0

{\displaystyle ad-bc\neq 0}

con

a
,
b
,
c
,
d
∈

R

{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }

. Así por ejemplo la inversa de la matriz

[

2

1

5

3

]

↦

[

2

1

5

3

]

−
1

=

[

3

−
1

−
5

2

]

,

{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}},}

ya que

[

2

1

5

3

]

[

3

−
1

−
5

2

]

=

[

1

0

0

1

]

{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}

Matriz de tres filas

Dada una matriz

A

{\displaystyle A}

de tamaño

3
×
3

{\displaystyle 3\times 3}

con determinante no nulo:

A

−
1

=

[

a

b

c

d

e

f

g

h

i

]

−
1

=

1

det
(
A
)

[

A

B

C

D

E

F

G

H

I

]

T

=

1

det
(
A
)

[

A

D

G

B

E

H

C

F

I

]

{\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{bmatrix}\,A&\,B&\,C\\\,D&\,E&\,F\\\,G&\,H&\,I\\\end{bmatrix}}^{T}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{bmatrix}\,A&\,D&\,G\\\,B&\,E&\,H\\\,C&\,F&\,I\\\end{bmatrix}}}

donde se definen

A
=
(
e
i
−
f
h
)

D
=
−
(
b
i
−
c
h
)

G
=
(
b
f
−
c
e
)

B
=
−
(
d
i
−
f
g
)

E
=
(
a
i
−
c
g
)

H
=
−
(
a
f
−
c
d
)

C
=
(
d
h
−
e
g
)

F
=
−
(
a
h
−
b
g
)

I
=
(
a
e
−
b
d
)

{\displaystyle {\begin{matrix}A=(ei-fh)&D=-(bi-ch)&G=(bf-ce)\\B=-(di-fg)&E=(ai-cg)&H=-(af-cd)\\C=(dh-eg)&F=-(ah-bg)&I=(ae-bd)\\\end{matrix}}}

Propiedades de la Matriz Inversa

Sea

A
∈

R

n
×
n

{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}

una matriz de rango máximo

• La matriz inversa de

  A

  {\displaystyle A}

  es única.

• Si

  B
  ∈

  R

  n
  ×
  n

  {\displaystyle B\in \mathbb {R} ^{n\times n}}

  y

  C
  ∈

  R

  n
  ×
  n

  {\displaystyle C\in \mathbb {R} ^{n\times n}}

  entonces la matriz inversa del producto

  B
  C

  {\displaystyle BC}

  es

(

B
C

)

−
1

=

C

−
1

B

−
1

{\displaystyle \left(BC\right)^{-1}={C}^{-1}{B}^{-1}}

• Si la matriz

  A

  {\displaystyle A}

  es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir

(

A

T

)

−
1

=

(

A

−
1

)

T

{\displaystyle \left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}}

• Y, evidentemente:

(

(

A

−
1

)

−
1

)

=
A

{\displaystyle \left((A^{-1})^{-1}\right)=A}

• Una matriz con coeficientes en los reales es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:

A

−
1

=

1

|

A

|

adj
⁡
(
A
)
 

{\displaystyle {A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\operatorname {adj} (A)\ }

donde

|

A

|

{\displaystyle {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}

es el determinante de

A

{\displaystyle A}

y

adj
⁡

(
A
)

 

{\displaystyle \operatorname {adj} {(A)}\ }

es la matriz de adjuntos de

A

{\displaystyle A}

, entendida como a la matriz de cofactores traspuesta. (Ver la explicación de la diferente manera de entender el término adjunto​​​​​ en el artículo matriz de adjuntos).

• El conjunto de matrices de

  n
  ×
  n

  {\displaystyle n\times n}

  con componentes sobre el cuerpo

  K

  {\displaystyle \mathbf {K} }

  que admiten inversa, con el producto de matrices, tiene una estructura isomorfa al grupo lineal

  GL

  (
  n
  ,

  K

  )

  {\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbf {K} )}

  de orden

  n

  {\displaystyle n}

  . En este grupo la operación de inversa es un automorfismo

  (
  ⋅

  )

  −
  1

  :

  GL

  (
  n
  ,

  K

  )
  →

  GL

  (
  n
  ,

  K

  )

  {\displaystyle (\cdot )^{-1}:{\text{GL}}(n,\mathbf {K} )\to {\text{GL}}(n,\mathbf {K} )}

  .

Demostración de la unicidad de la inversa

Supongamos que

B

{\displaystyle B}

y

C

{\displaystyle C}

son inversas de

A

{\displaystyle A}

A
B
=
B
A
=
I
,

y

A
C
=
C
A
=
I

{\displaystyle AB=BA=I,\quad {\text{y}}\quad AC=CA=I}

Multiplicando ambas relaciones por

C

{\displaystyle C}

(
B
A
)
C
=
I
C
=
C
,

y

(
B
A
)
C
=
B
(
A
C
)
=
B
I
=
B

{\displaystyle (BA)C=IC=C,\quad {\text{y}}\quad (BA)C=B(AC)=BI=B}

De modo que

B
=
C

{\displaystyle B=C}

y se prueba que la inversa es única.

Demostración del criterio de invertibilidad de las matrices cuadradas

Se probará la doble implicación.

Suficiencia

(
⇒
)

{\displaystyle (\Rightarrow )}

Supongamos que existe

B

{\displaystyle B}

tal que

A
B
=
B
A
=
I

{\displaystyle AB=BA=I}

. Entonces al aplicar la función determinante se obtiene

det

(

A
B

)

=
det

(

B
A

)

=
det

(
I
)

.

{\displaystyle \det \left(AB\right)=\det \left(BA\right)=\det \left(I\right).}

Utilizando la propiedad multiplicativa del determinante y sabiendo que

det
(
I
)
=
1

{\displaystyle \det(I)=1}

tenemos que

det

(
A
)

det

(
B
)

=
1
,

{\displaystyle \det \left(A\right)\det \left(B\right)=1,}

por lo que deducimos que

det
(
A
)

{\displaystyle \det(A)}

es distinto de cero.

Necesidad

(
⇐
)

{\displaystyle (\Leftarrow )}

Supongamos que el determinante de

A

{\displaystyle A}

es distinto de cero. Sea

a

i
j

{\displaystyle a_{ij}}

el elemento ij de la matriz

A

{\displaystyle A}

y sea

A

i
j

{\displaystyle A_{ij}}

la matriz

A

{\displaystyle A}

sin la fila

i

{\displaystyle i}

y la columna

j

{\displaystyle j}

(comúnmente conocida como

j

{\displaystyle j}

-ésimo menor de A). Entonces tenemos que

det
(
A
)
=

∑

i
=
1

n

(
−
1

)

i
+
j

a

i
j

det
(

A

i
j

)
.

{\displaystyle \det(A)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}).}

Además, si

k
≠
j

{\displaystyle k\neq j}

, entonces podemos deducir que

∑

i
=
1

n

(
−
1

)

i
+
j

a

i
k

det
(

A

i
j

)
=
0
,

{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ik}\det(A_{ij})=0,}

pues la parte izquierda de la relación es el determinante de

A

{\displaystyle A}

con la columna

j

{\displaystyle j}

sustituida por la columna

k

{\displaystyle k}

y, de nuevo por propiedades del determinante, sabemos que una matriz con dos filas iguales tiene determinante cero.

De las dos ecuaciones anteriores podemos obtener

δ

j
k

det

(
A
)

=

∑

i
=
1

n

(
−
1

)

i
+
j

det

(

A

i
j

)

a

i
k

.

{\displaystyle \delta _{jk}\det \left(A\right)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}\det \left(A_{ij}\right)a_{ik}.}

donde

δ

j
k

{\displaystyle \delta _{jk}}

es la delta de Kronecker.

Por tanto, sabiendo que

(
I

)

i
j

=

δ

i
j

{\displaystyle (I)_{ij}=\delta _{ij}}

tenemos que

det

(
A
)

I
=

(

adj

(
A
)

)

A
,

{\displaystyle \det \left(A\right)I=\left({\mbox{adj}}(A)\right)A,}

es decir, que

A

{\displaystyle A}

tiene inversa por la izquierda

(

adj

(
A
)

)

T

det

(
A
)

.

{\displaystyle {\frac {\left({\text{adj}}(A)\right)^{T}}{\det \left(A\right)}}.}

Como

(

adj

(
A
)

)

T

=

adj

(

A

T

)

{\displaystyle \left({\text{adj}}(A)\right)^{T}={\text{adj}}\left(A^{T}\right)}

, entonces

A

T

{\displaystyle A^{T}}

también tiene inversa por la izquierda que es

(

adj

(

A

T

)

)

T

det

(

A

T

)

=

adj

(
A
)

det

(
A
)

.

{\displaystyle {\frac {\left({\text{adj}}(A^{T})\right)^{T}}{\det \left(A^{T}\right)}}={\frac {{\text{adj}}(A)}{\det \left(A\right)}}.}

Entonces

adj

(
A
)

det

(
A
)

A

T

=
I
,

{\displaystyle {\frac {{\text{adj}}(A)}{\det \left(A\right)}}A^{T}=I,}

luego, aplicando la transpuesta

A

(

adj

(
A
)

)

T

det

(
A
)

=
I
,

{\displaystyle A{\frac {\left({\text{adj}}(A)\right)^{T}}{\det \left(A\right)}}=I,}

que es lo que se quería demostrar.

Métodos de inversión de matrices

Solución analítica

Inversión de matrices 2×2

Calcular la matriz inversa en matrices de 2×2 puede ser muy sencillo. Se puede hacer de la siguiente manera:​

A

−
1

=

[

a

b

c

d

]

−
1

=

1

det
(

A

)

[

d

−
b

−
c

a

]

=

1

a
d
−
b
c

[

d

−
b

−
c

a

]

{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}}

Esto es posible siempre y cuando

a
d
−
b
c
≠
0

{\displaystyle ad-bc\neq 0}

, es decir, el determinante de la matriz no es cero.

Ejemplo numérico:

C
=

[

1

2

3

4

]

,
 

C

−
1

=

[

1

2

3

4

]

−
1

=

1

−
2

[

4

−
2

−
3

1

]

{\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}},\ C^{-1}={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{-2}}{\begin{bmatrix}\,\,\,\,\,4&-2\\-3&\,\,\,\,\,1\end{bmatrix}}}

Inversión de matrices de órdenes superiores

Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula:

A

−
1

=

1

|

A

|

 
adj
⁡
(
A

)

T

 

{\displaystyle {A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\ \operatorname {adj} (A)^{T}\ }

Donde

|

A

|

{\displaystyle {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}

es el determinante de

A

{\displaystyle A}

,

 
adj
⁡

(
A
)

 

{\displaystyle \ \operatorname {adj} {(A)}\ }

es la matriz de adjuntos de

A

{\displaystyle A}

y el superíndice

T

{\displaystyle T}

indica transposición.

Cuando la matriz tiene más de tres filas, esta fórmula es muy ineficiente y conduce a largos cálculos. Hay métodos alternativos para calcular la matriz inversa que son bastante más eficientes.

Métodos numéricos

El método de eliminación de Gauss-Jordan puede utilizarse para determinar si una determinada matriz es invertible y para encontrar su inversa. Una alternativa es la descomposición LU, que descompone una matriz dada como producto de dos matrices triangulares, una inferior y otra superior, mucho más fáciles de invertir.
Utilizando el método de Gauss-Jordan se coloca a la izquierda la matriz dada y a la derecha la matriz identidad. Luego por medio del uso de pivotes se intenta formar en la izquierda la matriz identidad y la matriz que quede a la derecha será la matriz inversa a la dada.

Grupo lineal

El conjunto de todas las matrices

n
×
n

{\displaystyle n\times n}

que admiten inversa es una representación lineal del grupo lineal de orden n, denotado como

GL

(
n
)

{\displaystyle {\textrm {GL}}(n)}

. Este grupo tiene importantes aplicaciones en álgebra y física. Además

GL

(
n
)
⊂

M

n
×
n

{\displaystyle {\textrm {GL}}(n)\subset M_{n\times n}}

es un conjunto abierto (con la topología inducida de

R

n

2

{\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}

).

Véase también

• Matriz involutiva

Referencias

Enlaces externos

• Ejercicios resueltos de matrices inversas
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Matriz invertible», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .

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2) Halla la inversa de las siguientes matrices aplicando la definición: 3) Halla, por el método de Gauss-Jordan, la matriz inversa de A: 4) Dada la matriz A: a) Razona si puede existir una matriz B tal que AB = I, siendo I la matriz identidad. En caso afirmativo halla B. b) ¿Tiene inversa A? Razona la respuesta.. Calcular la matriz inversa es una habilidad fundamental en álgebra lineal, utilizada en diversas aplicaciones matemáticas y científicas. En este artículo, exploraremos el proceso para encontrar la inversa de matrices, tanto de 2×2 como de 3×3, y abordaremos algunos ejercicios prácticos para consolidar el aprendizaje.